벨만 포드 알고리즘

최단 거리 문제

모든 간선의 비용이 양수일 때

1번 노드에서 다른 노드로 가기 위한 최소 비용은 얼마일까?

음수 간선이 포함될 때

아래 그래프에서는 음수 간선이 포함되어 있지만 여전히 최단 거리를 계산할 수 있다.

음수 간선의 순환이 포함될 때

하지만 음수 간선의 순환이 포함된다면 최단 거리가 음의 무한인 노드가 발생한다.

최단 거리 문제

음수 간선에 관하여 최단 경로 문제는 다음과 같이 분류할 수 있다.

1. 모든 간선이 양수인 경우
2. 음수 간선이 있는 경우
   1. 음수 간선 순환은 없는 경우
   2. 음수 간선 순환이 있는 경우

벨만 포드 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 포함된 상황에서도 사용할 수 있다.

-> 또한 음수 간선의 순환을 감지할 수 있다.

-> 벨만 포드의 기본 시간 복잡도는 O(VE)로 다익스트라 알고리즘에 비해 느리다.

 

벨만 포드 최단 경로 알고리즘

알고리즘

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 다음의 과정을 N - 1번 반복한다.
   1. 전체 간선 E개를 하나씩 확인한다.
   2. 각 간선을 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.

만약 음수 간선 순환이 발생하는지 체크하고 싶다면 3번의 과정을 한 번 더 수행한다.

-> 이 때 최단 거리 테이블이 갱신된다면 음수 간선 순환이 존재하는 것이다.

벨만 포드 알고리즘 vs 다익스트라 알고리즘

• 다익스트라 알고리즘
  • 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
  • 음수 간선이 없다면 최적의 해를 찾을 수 있다.
• 벨만 포드 알고리즘
  • 매번 모든 간선을 전부 확인한다.
    • 따라서 다익스트라 알고리즘에서의 최적의 해를 항상 포함한다.
  • 다익스트라 알고리즘에 비해 시간은 오래 걸리지만 음수 간선 순환을 탐지할 수 있다.

소스코드

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

def bf(start) :
	# 시작 노드에 대해서 초기화
    dist[start] = 0
    # 전체 n번의 라운드(round)를 반복
    for i in range(n) :
    	# 매 반복마다 "모든 간선"을 확인하며
        for j in range(m) :
        	cur = edges[j][0]
            next_node = edges[j][1]
            cost = edges[j][2]
            # 현재 간선을 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if dist[cur] != INF and dist[next_node] > dist[cur] + cost :
            	dist[next_node] = dist[cur] + cost
                # n번째 라운드에서도 값이 갱신된다면 음수 순환이 존재
                if i == n - 1 :
                	return True
	return False
    
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 모든 간선에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
edges = []
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
dist = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m) :
	a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    edges.append((a, b, c))
    
# 벨만 포드 알고리즘을 수행
negative_cycle = bf(1) # 1번 노드가 시작 노드

if negative _cycle : print("-1")
else :
	# 1번 노드를 제외한 다른 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
    for i in range(2, n+1) :
    	# 도달할 수 없는 경우 -1을 출력
        if dist[i] == INF :
        	print("-1")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else :
        	print(dist[i])