위상 정렬

위상 정렬

• 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미한다.
• 예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 결정

• 위 세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 학습 순서는?
  • 자료구조 -> 알고리즘 -> 고급 알고리즘 (O)
  • 자료구조 -> 고급 알고리즘 -> 알고리즘 (X)

진입차수와 진출차수

• 진입차수(Indegree) : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 진출차수(Outdegree) : 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

 

위상 정렬 알고리즘

• 큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다.
  1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
  2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
     1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
     2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

-> 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.

 

위상 정렬 동작 예시

• 위상 정렬을 수행할 그래프를 준비한다.
  • 이때 그래프는 사이클이 없는 방향 그래프(DAG)여야 한다.

• [초기 단계] 초기 단계에서는 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
  • 처음에 노드 1이 큐에 삽입된다.

• [Step 1] 큐에서 노드 1을 꺼낸 뒤에 노드 1에서 나가는 간선을 제거한다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다.

• [Step 2] 큐에서 노드 2을 꺼낸 뒤에 노드 2에서 나가는 간선을 제거한다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다.

• [Step 3] 큐에서 노드 5을 꺼낸 뒤에 노드 5에서 나가는 간선을 제거한다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다.

• [Step 4] 큐에서 노드 3을 꺼낸 뒤에 노드 3에서 나가는 간선을 제거한다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드가 없으므로 그냥 넘어간다.

• [Step 5] 큐에서 노드 6을 꺼낸 뒤에 노드 6에서 나가는 간선을 제거한다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다.

• [Step 6] 큐에서 노드 4을 꺼낸 뒤에 노드 4에서 나가는 간선을 제거한다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다.

• [Step 7] 큐에서 노드 7을 꺼낸 뒤에 노드 7에서 나가는 간선을 제거한다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드가 없으므로 그냥 넘어간다.

• [위상 정렬 결과]
  • 큐에 삽입된 전체 노드 순서 : 1 -> 2 -> 5 -> 3 -> 6 -> 4 -> 7

 

위상 정렬의 특징

• 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있다.
  • DAG(Direct Acyclic Graph) : 순환하지 않는 방향 그래프
• 위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재할 수 있다.
  • 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재한다.
• 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.
  • 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다.
• 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있다.

구현 코드

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for _ in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e) :
	a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b)
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort() :
	result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1. v + 1) :
    	if indegree[i] == 0 :
        	q.append(i)
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q :
    	# 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now] :
        	indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0 :
            	q.append(i)
    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result :
    	print(i, end=' ')
        
topology_sort()

 

위상 정렬 알고리즘 성능 분석

• 위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거해야 한다.
  • 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V + E)이다.