다이나믹 프로그래밍

• 다이나믹 프로그래밍은 메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법
• 이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 한다.
• 다이나믹 프로그래밍의 구현은 일반적으로 두 가지 방식(탑다운과 보텀업)으로 구성된다.

 

다이나믹 프로그래밍의 조건

1. 최적 부분 구조(Optimal Substructure)

• 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다.

2. 중복되는 부분 문제(Overlapping Subproblem)

• 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 한다.

 

피보나치 수열

• 다이나믹 프로그래밍을 활용하여 해결할 수 있는 대표적인 문재
• 피보나치 수열은 다음과 같은 형태의 수열

1, 1, 2, 3, 5, 8, 12, 21, 34, 55...

• 점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미
• 피보나치 수열을 점화식으로 표현하면

 

피보나치 수열의 시간 복잡도 분석

• 단순 재귀 함수로 피보나치 수열을 해결하면 지수 시간 복잡도를 가지게 된다.

• 다음과 같이 f(2)가 여러 번 호출되는 것을 확인할 수 있다. (중복되는 부분 문제)
• 피보나치 수열의 시간 복잡도는 빅오 표기법으로 O(2^N)

 

피보나치 수열의 효율적인 해법

• 다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족하는지 확인

1.  최적 부분 구조
2. 중복되는 부분 문제

-> 다이나믹 프로그래밍의 사용 조건 만족

 

메모이제이션(Memoization)

• 한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법

      -> 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져온다.

      -> 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Cashing) 이라고도 한다.

 

탑다운 VS 보텀업

• 탑다운 방식은 구현과정에서 재귀함수를 이용
• 보텀업 방식은 구현과정에서 반복문을 이용
• 탑다운(메모이제이션) 방식은 하향식이라고도 하며 보텀업 방식은 상향식이라고도 한다.
• 다이나믹 프로그래밍의 전형적인 방식은 보텀업 방식

      -> 결과 저장용 리스트를 DP 테이블이라고 한다.

• 엄밀히 말하면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 위미

      -> 따라서 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념은 아니다.

      -> 한 번 계산된 결과를 담아놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있다.

 

피보나치 수열 : 탑다운 다이나믹 프로그래밍 소스 코드

# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100

def fibo(x) :
	# 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
    if x == 1 or x == 2 : 
    	return 1
    # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x] != 0 :
    	return d[x]
    # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]
    
print(fibo(99))

 

피보나치 수열 : 보텀업 다이나믹 프로그래밍 소스 코드

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99

for i in range(3, n+1) :
	d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]
print(d[n])

 

 

다이나믹 프로그래밍 VS 분할 정복(퀵 정렬)

• 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복은 모두 최적 부분 구조를 가질 때 사용할 수 있다.

      -> 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며, 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황

• 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 부분 문제의 중복

      -> 다이나믹 프로그래밍 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치면 부분 문제가 중복

      -> 분할 정복 문제에서는 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않는다.

 

다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법

• 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 문제임을 파악하는 것이 중요
• 가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토

      -> 다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면 다이나믹 프로그래밍을 고려

• 일단 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그래밍을 작성한 뒤여 (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법을 사용할 수 있다.
• 일반적인 코딩테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많다.